光滑的地面上有两个静止的小木块, 离墙近的质量为$1$Kg, 离墙远的质量为$n$kg, 现给重的木块一定的速度使其向墙壁方向运动, 假设所有的碰撞都是弹性碰撞, 那么木块之间的碰撞次数和与墙壁之间的碰撞次数是多少? 这里可以给出这样的数据.

  • n = 1, 发生3次碰撞
  • n = 1e2, 发生31次碰撞
  • n = 1e4, 发生314次碰撞
  • n = 1e6, 发生3141次碰撞
  • n = 1e8, 发生31415次碰撞

很意外地出现了圆周率$\pi$这个数字, 在这个看起来跟圆完全无关的问题中居然出现了圆周率真是一个令人意想不到的结果. 这个问题有很多中解法, 当然最开始我是不会的…这里介绍一种相当巧妙的解法. 首先这个系统是能量的守恒的系统, 那么我们可以写下方程

$$mv_1^2+Mv_2^2=const$$

那么很明显两个小木块的速度就在这个椭圆上运动, 我们做一个伸缩变换就可以将椭圆映射到圆上, 即为 $ x_1=\sqrt{m}v_1, x_2=\sqrt{M}v_2 $. 最开始, 系统是落在绿色的圈所在的位置的, 接着由于动量守恒的原因

$$Mv_2+mv_1 = const$$

对应于$x_1, x_2$的方程为

$$\sqrt{m}x_1+\sqrt{M}x_2=const$$

所以下一个状态所在的位置应该是过绿色圆圈, 斜率为$-\sqrt{\frac{m}{M}}$的直线与该圆的交点, 即为下图的2点. 注意到这里质量小的木块会撞到墙壁然后反弹, 所以系统会到达3点, 于是完成两次碰撞. 这里注意到当系统状态到达第一象限的$y=x$左侧就不会再碰撞, 即为图中红线在第一象限的右侧. 下面就是计算什么时候蓝色的圈会运动到红线的左侧了. 注意到$M>>m$, 所以每一次大小木块碰撞的直线的斜率都是很小的, 这里可以近似出

$$\tan{\theta} = \sqrt{\frac{m}{M}} \sim \theta$$ 所以每次碰撞相当于走了

$$\theta = 2\sqrt{\frac{m}{M}}$$

但是一共有整个圆周$2\pi$需要走, 所以最后碰撞的总次数为:

$$N = [\frac{2\pi}{2\sqrt{\frac{m}{M}}}] \sim \pi \sqrt{\frac{M}{m}}$$

也就是最上面的结果.